【百道编按】毕达哥拉斯学派认为不可能的无理数，解决了困扰人们多年的一个音乐问题。努力把不可能变成可能这是许多重大数学发现的源头。在上海科技教育出版社出版的《渴望不可能——数学的惊人真相》中，你能发现更多这样的例子。数学家渴望发现不可能，渴望从不可能中做出新的发现。

毕达哥拉斯学派认为不可能的无理数，解决了困扰人们多年的一个音乐问题。钢琴的琴键设计，每一组都由7个白键和5个黑键组成。白键对应的就是哆来咪发唆拉西，那为什么还要有黑键呢？

话说在古希腊，毕达哥拉斯学派发现，当琴弦的长度成较小的整数之比时，弹拨琴弦会出现和声。弦的长度比为2:1时，是最和谐的八度音程；长度比为3:2时，是第二和谐的五度音程；长度比为4:3时，是四度音程。八度音程如此和谐，以至于我们对相差八度的高音音符与低音音符的感觉是“相同”的。

毕达哥拉斯学派还发现，音调相加对应的是比例相乘。例如，他们知道一个五度加上一个四度就等于一个八度，这是因为3/2×4/3=2。

那么，能不能通过将八度分成相等的音级来将五度、四度都包括在内呢？毕达哥拉斯学派的信徒们不断尝试，但一直没有成功。看来，这个问题的答案是——不可能。我们现在知道，他们的尝试注定会失败。因为3/2的整数次方不可能等于2的整数次方，所以无论将多少个五度相加，永远不可能得到八度。同理，将四度相加也一样。

传统的中国音乐将八度音程分为宫、商、角、徵、羽5个音级，相当于哆来咪唆拉，而中国音乐人也曾经尝试用纯五度的循环来构建音阶，结果陷入了同样的困境。可以说，这个问题同时困扰了中外音乐界。

令人惊奇的是，16世纪末，中国的朱载堉和荷兰的西蒙·斯蒂文几乎同时提出了相同的折衷解决方案，就是用一个八度的12等分（半音）来构建音阶。其中的五度是2的7/12次方，约等于1.498，与纯五度的3:2（就是1.5）非常接近。12个这样的五度，恰好能构成7个八度，这个由相等半音构成的体系，就是十二平均律。

回过头再看看钢琴琴键，每一组的7白5黑12个键就是12个音级。从哆往后7个键是唆，它就是刚才说的2的7/12 次方，对应一个五度；从哆往后12个键就是下一个哆，对应一个八度。

如今，在吉他等乐器的琴格布局中，也可以看到十二平均律的应用。将手指从一个琴格滑到下一个琴格，就会将振动琴弦的长度改变一个八度的12等分。

从数学的角度来看，十二平均律的基本比例——2的1/12次方是一个无理数。但是，毕达哥拉斯学派不承认无理数，他们认为这样的数是“无理的”“荒谬的”。难怪他们搞不出十二平均律。

努力把不可能变成可能这是许多重大数学发现的源头，在《渴望不可能——数学的惊人真相》中，你能发现更多这样的例子。数学家渴望发现不可能，渴望从不可能中做出新的发现。在日常生活和工作中，不也是这样吗？

（本文编辑：杨婧；编助：安安）